Каждый школьник знает, что из себя представляет ноль — то почему же так долго нам не удается его полностью понять? Пройдите с нами по его тернистому пути от нелепостей к здравому смыслу.
Загадка: В меня семь коз и три дочери. Я выменял три козы на кукурузу. По одной козе я отдал каждой дочери в качестве приданого. Одну украли. Сколько у меня осталось коз?
И это просто, скажите вы, нет ничего удивительного в этой загадке — ничего. Удивительно, но большую часть своей истории человечество не имело математического объяснение этого ответа.
Примеры счета впервые появляются пять тысячелетий назад в Египте, Месопотамии и Персии. Но даже со всеми значимыми объяснениями, математическое объяснения, что, же такое ничего — или ноль, существует лишь чуть меньше половины этого времени. И даже после того, как цивилизации, которые открыли его для себя, так и не смогли полностью объяснить его. В свою очередь равнодушие, близорукость и страх, имеющиеся на то время в средневековой Европе, также на века затормозили этот процесс. И что же такого особенного находили в этом числе?
Это следует из запутанной истории о двух нулях. Ноль, как символ, который символизирует собой ничего. И ноль как число, которое можно использовать в расчетах и который имеет свои математические характеристики. Естественно, что мы понимаем под этими понятиями одно и то же. Однако история говорит нам совсем иначе.
Ноль как символ, в действительности, не появился первым. Об этом напоминает то, что мы будем наблюдать в следующем году на нашем календаре — число 2012. В этом случае он просто занимает позицию в нашем числовом ряду, чья принципиальная особенность как цифры лишь в том, что «вес» числа зависит от того, где стоит это число. Разъясним на том же примере с 2012: здесь двойка присутствует дважды — один раз она просто означает 2, а один раз — 2000. Так как в нашей позиционной системе исчисления мы используем «10» за основу — то переместившись на лево вес цифры возрастает в десять раз.
Этот числовой ряд «2012» можно представить и в виде набора чисел 2 × 103 + 0 × 102 + 1 × 101 + 2. Здесь ноль играет очень важную роль: раз из этого следует то, что мы не перепутаем 2012 и 212, или с 20012, хотя ноль в этом и означает не материальное, но занимает здесь важное место. И также именно поэтому мы можем оперировать тысячами, сотнями нулей …
Первую позиционную систему счисления начали использовать около 1800 года до н.э. в древнем Вавилоне (территория современного Ирака) для подсчета количества сезонов и лет. Однако за основу они брали не 10, как мы сейчас, а 60. Правда, в этой системе не было числовое обозначения для каждого числа, образовывалось с участием этой основы, в отличие от динамической системы с цифрового ряда от 1 до 9, которую мы используем сегодня.
Вместо этого они имели только два числовых обозначения -1 и 10, которые вместе образовывали максимальные значение 59. Например, число 2012 за этой системой эквивалентно 33 × 601 + 32 и оно было представлено двумя группами символов: первая часть включала три «галочки» для обозначения трех десятков и три вертикальных «полоски» для обозначения 3-х, и вторая состояла из опять-таки трех десятков и двух вертикальных черточек, означавшие двойку.
Это число ничего особенного не пропустило. В течение 1,5 тысяч лет в вавилонской позиционной системе счисления отсутствие любого числа сказывалась не каким-то особым символом, а просто пустым местом. Что же изменилось в 300 столетий до н.э. — не известно. Возможно, началась неразбериха с накоплением таких пустых мест в цифрах. Но, кажется, рядом возник и третий символ — две лево-наклонены стрелки, начавшие занимать пустые места в расчетах древних астрологов.
Это и был первый в мире ноль. Несколько позже, 7 веков спустя, на другой стороне мира его изобретают вторично. Жрецы майя в Центральной Америке для заполнения большинства промежутков своей двадцятковои позиционной системы счисления, известной как «длинный» счет, начали использовать символ в виде «скрученной змеи» в своих календарных расчетах. Здесь позиция нуля оказалась очень полезной. Обидно, что ни вавилоняне, ни майя так до конца и не поняли, насколько полезным и важным могу быть эта цифра.
В любой динамической системе, которой как раз и есть позиционная система исчисления, место нуля сразу принимает новый облик: он становится математическим «оператором», с которым основание системы исчисления набирает больший вес. Это становится, очевидно, когда мы рассматриваем, например, действие сложения — мы ставим ноль в конце десятичного числового ряда, и число сразу увеличивается в 10 раз. Число 2012 становится числом 20120 — сразу в 10 раз. Мы интуитивно пользуемся этой его особенностью всякий раз, когда мы добавляем два или больше числа, а общая сумма в столбце превышает 10. Мы «переносим единицу» и оставляем ноль для правильного ответа. Простота таких алгоритмов дает нам большие возможности манипулировать с числами.
Мы, конечно же, не обвиняем вавилонян или майя в их «халатности», что они упустили такую сноровку: различные недостатки в их системах счисления, поэтому очень трудно обнаружить. И хотя они открыли для себя ноль как символ, они пропустили его как число.
Правда, ноль является не совсем полезным дополнением к нашему пантеону чисел. Принимая его, появляются все виды логических противоречий, которые без должного внимания и осторожности с ними, могут разрушить всю систему счисления. Добавляя ноль к самому себе, не приводит к увеличению его размера, как это происходит с другими числами. Перемножая любое, хотя и огромное, число на ноль, оно становится нулем. И даже не хочу говорить уже о том, что происходит, когда мы делим на ноль ….
Древняя Греция — классическая цивилизация, следующая пыталась справиться с концепцией нуля, однако они очень не занималась решением этих противоречий. Греки считали, что числа выражают геометрическую форму, и поэтому — за какую форму может отвечать то, чего нет? Это должно быть только полное отсутствие чего-то, пустота — понятие, которое не признавалось доминирующий в то время космологией.
Во многом Аристотель и его ученики помогли в этом — за их мировоззрением планеты и звезды были встроены в ряд концентрических небесных сфер. Эти сферы были заполнены эфирной субстанцией и все сосредоточены вокруг Земли и приводились в движение «неподвижной движущей силой». Позднее это изображение было проникнуто христианской философией, которая видела в «неподвижной движущей силе» прямое объяснения Бога. А так в то время не было места для обозначения пустоты — противоположности Бога в этой космологии, ноль — и все, что с ним связано, стало обозначением безбожия.
В восточной философии, которая основывается на идее вечных циклов созидания и разрушения, не было таких резких обвинений. И поэтому следующим огромным толчком в судьбе нуля стало его путешествие не западнее Вавилона, а на восток. Впоследствии он был найден в трактате Brahmasphutasiddhanta о связи математики с физическим миром, написанный в Индии примерно в 628 г. н.э. астрономом Брахмагупта.
Брахмагупта был первым человеком, который, мы видим, воспринимал и использовал числа как чисто абстрактнуое количество и отдельно от любых физических или геометрических реалий. Это позволило ему рассмотреть нетрадиционные вопросы, вавилоняне и греки или проигнорировали, или отклонили — например, что произойдет, если от меньшего числа вычесть число большего размера. На языке геометрии это нонсенс: какая же тогда остается область, если мы отсечем большую область от меньшей? Так же, как я могу продать, или выменять больше коз, чем я имел в начале? Как только цифры становятся абстрактными, перед тобой открывается целый новый мир возможностей — мир отрицательных чисел.
В результате — появляется новый ряд чисел — так далеко, насколько хватает глаз твой, причем в обоих направлениях — и положительные, и отрицательные. Сидя в середине этого ряда, ноль получил название sunya, или ничто. Индийские математики решились заглянуть в пустоту — так появилась новая цифра.
Прошло совсем немного времени, когда они соединили эту новую цифру с нулем как символом. Когда сирийский христианский епископ в 662 году писал, что индуистские математики делали расчеты «с помощью девяти знаков», то надпись в храме в большом средневековом форте в Гвалиор, к югу от Дели в Индии, показывает, что за два века девять становится уже десяткой. Ноль — это яйцеобразный символ — уже несколько напоминал наш собственный ноль и становится нормой, полноправным членом динамической позиционной системы исчисления, которая работает с цифрами от 0 до 9. Это ознаменовало собой рождение чисто абстрактной системы исчисления, которая в настоящее время используется во всем мире и вскоре должна была породить новое направление математики в алгебру.
Потребовалось много времени, чтобы эти нововведения стали восприниматься в Европе. Был только 1202 год, когда молодой итальянец Леонардо из Пизы, известный как Фибоначчи, опубликовал книгу — Liber Abaci. В которой представил подробную информацию об арабской системе подсчета, с которой он встретился на пути к южным берегам Средиземноморья, и продемонстрировал большие преимущества как эта система справляется со сложными расчетами на имеющихся на то время абака (счетах — прим.).
Хотя торговцы и банкиры быстро убедились в полезности индо-арабской системы, государственные органы ее не так хорошо приняли. В 1299 г. во Флоренции, Италия, запретили использование индо-арабских цифр, в том числе и нуля. Они считали, что способность чрезвычайно увеличивать значение числа простым добавлением цифры к концу — это недопустимый способ в доминирующей в то время непозиционной римской системе исчисления, и достаточно открытой для мошенничеств.
Ноль как цифра в этом случае переживала свои худшие времена. Расколы, потрясения, реформирования и контрреформации в церкви означали длительные споры относительно ценностей идеи Аристотеля о космосе, а с тем и православия и ее противоположности. И только благодаря революции Коперника 16-го века — изображение Земли, которая движется вокруг Солнца — европейские математики понемногу начали освобождаться от пут аристотелевской космологии.
С 17-го века ноль уже мог претендовать на триумф. Трудно выделить это событие, когда оно произошло. Возможно, это была системы координат, изобретенная французским философом и математиком Рене Декартом. Его декартова система примерила алгебру и геометрию, дав возможность каждой геометрической форме получить новое символическое изображение с помощью нуля — неподвижном центра координат. Ноль не был уже таким далеким от геометрии, как считали греки: он был даже необходимым. Сразу после этого новый инструмент вычислений показывал, что сначала надо было признать, как ноль может принимать бесконечно малое значение для объяснения, как что-либо в космосе может изменить свою позицию по отношению к другому — звезда, планета, заяц, который обгоняет черепаху. Ноль сам становится для себя основной движущей силой.
Таким образом, лучшее понимание нуля становится на страже научной революции, которая только начиналась в это время. Последующие события подтвердили, насколько существенным является ноль для математики, и все что с ней связано. Несмотря на ноль, который спокойно сидит сегодня в числах, и, зная его весь путь его рождения, трудно понять, как могло вызвать столько бед и путаницы. Здесь уместно вспомнить выражение — много шума из ничего.
69
